Calcul numérique
Rubrique : mathématiques appliquées, algorithme, chaos.
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Intégration numérique
But de l’intégration numérique
Le but de l’intégration numérique est de calculer une valeur approchée de l’intégrale de la fonction sur un intervalle donné, pour une précision donnée.
Méthode de GAUSS
Pour un donné, prenons, pour la fonction , un polynôme à valeurs réelles et de degré et cherchons les couples tels que . Pour cela, il faut que le polynôme soit de degré .
Sur l’intervalle et pour tout , les points — qui sont égaux aux zéros du polynôme de Legendre de degré sur — et les poids sont donnés par les formules suivantes :
,
,
Application à l’intervalle
Soit la fonction à intégrer sur l’intervalle :
Nous choisissons un fixé. Puis, nous allons découper l’intervalle en sous-intervalles de longueur constante . Le scalaire , dont l’expression est donnée ci-dessous, est alors une valeur approchée de l’intégrale sur l’intervalle .
Un majorant de l’erreur est donné par la formule :
où
Valeurs numériques de
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Programmation en C
// DATA double W1,W2,W3,x1,x2,x3; double S1,S2,S3,X1,X2,X3,S,a,b,d; double f(double x); longint k,N; // INITIALISATION for n=3 W1=5/9; x1=-sqrt(3/5); W2=8/9; x2=0; W3=5/9; x3=sqrt(3/5); d = (b-a)/N; S1 = 0; X1 = a+0.5*d*(1+x1); S2 = 0; X2 = a+0.5*d*(1+x2); S3 = 0; X3 = a+0.5*d*(1+x3); // MAIN LOOP for(k=0;k<N;k++) { S1 += f(X1); X1 += d; S2 += f(X2); X2 += d; S3 += f(X3); X3 += d; } // RESULT S = 0.5*d*(W1*S1+W2*S2+W3*S3);
Fiche à télécharger
- Mémento « Intégration numérique – Méthode de Gauss » (PDF, 148 Kio)
Dérivation numérique
Utilisation du développement en séries de Taylor
But et notations
Le but est de calculer, numériquement, la dérivée d’ordre de la fonction au point . De plus, nous pouvons calculer ces formules telle sorte que l’erreur soit en , où est l’ordre de l’approximation : ce nombre est pair.
Pour et pour un fixé, voici les formules de dérivation numérique.
Pour impair
où
Pour pair
où
Exemples
Dérivée première ()
p | A0 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
---|---|---|---|---|---|---|
2 | 2 | 1 | · | · | · | · |
4 | 12 | 8 | −1 | · | · | · |
6 | 60 | 45 | −9 | 1 | · | · |
8 | 840 | 672 | −168 | 32 | −3 | · |
10 | 2520 | 2100 | −600 | 150 | −25 | 2 |
Dérivée seconde ()
p | A0 | A1 | A2 | A3 | A4 | A5 |
---|---|---|---|---|---|---|
2 | 1 | 1 | · | · | · | · |
4 | 12 | 8 | −1 | · | · | · |
6 | 180 | 270 | −27 | 2 | · | · |
8 | 5040 | 8064 | −1008 | 128 | −9 | · |
10 | 25200 | 42000 | −6000 | 1000 | −125 | 8 |
Application
Pour utiliser la formule, il faut choisir un fixe, le plus petit possible de telle sorte que la précision soit la plus grande possible, mais il faut, également, que cette valeur ne soit pas trop petite car elle génèrerai des erreurs d’arrondis qui donneront une valeur de la dérivée complètemenet faussée. Donc, la détermination de la valeur de se fait de manière empirique à l’aide d’essais.
Fiche à télécharger
Résolution d’équations différentielles
Équation différentielle d’ordre 1
Voici comment résoudre numériquement l’équation différentielle d’ordre 1 suivante
Méthode de RUNGE-KUTTA d’ordre 1 ou méthode d’EULER
Méthode de RUNGE-KUTTA d’ordre 2
Méthode de RUNGE-KUTTA d’ordre 3
Méthode de RUNGE-KUTTA d’ordre 4
Système de deux équations différentielles d’ordre 1
Voici comment résoudre numériquement le système de deux équations différentielles d’ordre 1 à deux fonctions inconnues à l’aide de la méthode de RUNGE-KUTTA d’ordre 4.
Équation différentielle d’ordre 2
Voici comment résoudre l’équation différentielle d’ordre 2 suivante
Posons d’où le système